Наименьшее общее кратное НОК. Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК Найти нод и нок трех

Пример НОД(12,30).

• 12=30 | a==b; //в нашем случаи 12 не равно 30
• 12<30 | a
• 30 12 | a==b; b==a; //меняем местами
• 30-12=18 | a=a-b;//производим вычитание
• 18=12| a==b;//равно ли а и b
• 18<12| ab
• 18-12=6|a=a-b; //производим вычитание
• 6=12|a==b; //в нашем случаи 6 не равно 12
• 6<12|a
• 6 12| a==b; b==a; //меняем местами
• 12-6=6|a=a-b;//производим вычитание
• 6=6| a==b; //в нашем случаи 6 равно 6
• НОД(12,30)=6;

Наименьшее общее кратное(НОК).

НОК-это число которое из двух и более натуральных чисел является наименьшим натуральным числом, которое само делится нацело, и каждое из исходных чисел.

Самый простой и быстрый способ в плане реализации программного кода, это первоначально вычислить НОД двух чисел, затем произведение исходных двух целых чисел a и b разделить на НОД. Посмотрим на примере как это выглядет. Возьмем за пример все те же цифры 12 и 30 как мы помним наибольшее общее кратное равнялось 6. НОД=6 Следовательно по формуле НОК=a*b/НОД. НОК=12*30/6=60 Есть и другие варианты вычисления НОК к примеру каноническое разложение чисел. Рассмотрим пример, первоначально нам надо выяснить какое из чисел больше, потом мы раскладываем числа на кратные 12= 2 *2* 3 , и число 30= 2 * 3 *5 Вычисляем произведение кратных чисел из числа 30, так как оно является наибольшим. В следующей операции, одинаковые цифры вычеркиваются, как это сделал я из большего меньшее, а оставшиеся кратные числа из 12 умножаются друг на друга, у нас осталось только число 2, которое умножается на произведение кратных чисел из 30, в результате вычисления вы и получите НОК. Выглядет это следующим образом НОК=2*3*5*2=60 Хорошо это можно представить в виде столбиков, как это можно видеть из рис. 2.

рис. 2

В целом ничего сложного, главное не запутаться, сейчас мы нарисуем блок схему наименьшего общего кратного (НОК).

Блок схема Наименьшего общего кратного (НОК)

рис 3.

Алгоритм работы программы описан вначале, статьи о НОК.

Но как же быть если нам надо к примеру найти НОД трех и более натуральных чисел, или найти НОК трех или более натуральных чисел. Тут ничего сложного инструкцию по нахождению НОД из 3 чисел и НОК смотрим ниже.

НОД трех чисел:

• Сравниваем все числа К примеру a
• Начинаем вычисления с больших чисел к меньшим
• Вычисляем НОД по аналогии с двумя числами a и b
• Вычисляем по аналогии чисел НОД(a,b) и с Пример: НОД(a,b,c)=НОД((НОД(a,b)),с);
• НОД(12,30,60)
• 12<30<60
• НОД(60,30)=30
• НОД(30,12)=6

Точно так же производиться вычисления НОД из четырех чисел из пяти итд. По аналогии с НОД вычисляется и НОК с тремя и более числами. Приведу в пример НОД трех чисел блок схему алгоритма смотрите рис. 4.

Блок схема НОД алгоритма трех чисел, четырех чисел итд.

рис. 4

Разберем по подробнее работу программы блок схемы из рис. 4.

• У нас подается 3 числа, но их может быть сколько угодно.
• Их мы записываем в массив array.
• Выполняем метод sort(); Это мой метод он принимает массив чисел, делает сортировку по убыванию, пузырьковым методом, о нем вы можете прочитать из уроков о массивах.
• Выполняем метод nod(), который принимает первые два числа. Я создал метод по аналогии как написано выше в этой статье.
• В следующем блоке я помещаю в тело цикла метод nod(), который присваиваю возвращаемое число из метода nod() переменной a.
• Выводим результат.
• Завершаем работу программы.

.

Пока писал статью, написал программу НОК и НОД вычисления, которую можете скачать с сайта. Работа программы очень простая, достаточно в текстовое поле вписать цифры через пробел или запятую, нажать на кнопку вычислить или Enter и программа выведет результат. Программа написана на языке java. Может запускаться со всех систем.

рис 5.

Скачать калькулятор НОК и НОД .

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э. Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24, ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.

В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

Например, НОК (10, 11) = 110.

Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел необходимо:

2. Найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях.

3. Найти произведение общих простых множителей.

Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) двух чисел необходимо:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Разложение одного из них дополнить теми множителями разложения другого числа, которых нет в разложении первого.

3. Вычислить произведение полученных множителей.

Нахождение НОД

НОД - это наибольший общий делитель.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел необходимо:

• определить множители, общие для обоих чисел;
• найти произведение общих множителей.

Пример нахождения НОД:

Найдем НОД чисел 315 и 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Выпишем множители, общие для обоих чисел:

3. Найдем произведение общих множителей:

НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Ответ: НОД(315; 245) = 35.

Нахождение НОК

НОК - это наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел необходимо:

• разложить числа на простые множители;
• выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
• допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа;
• найти произведение получившихся множителей.

Пример нахождения НОК:

Найдем НОК чисел 236 и 328:

1. Разложим числа на простые множители:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Выпишем множители, входящие в разложение одного из чисел и допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Найдем произведение получившихся множителей:

НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Ответ: НОК(236; 328) = 19352.