Системы неравенств — Гипермаркет знаний. Системы неравенств – начальные сведения Как решать систему неравенств онлайн

На этом уроке мы начнем изучение систем неравенств. Вначале будем рассматривать системы линейных неравенств. В начале урока рассмотрим, откуда и зачем возникают системы неравенств. Далее изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце будем решать конкретные примеры на системы линейных неравенств.

Тема : Рацион альные неравенства и их системы

Урок: Основн ые понятия, решение систем линейных неравенств

До сих пор мы решали отдельные неравенства и применяли к ним метод интервалов, это могли быть и линейные неравенства , и квадратные и рациональные. Теперь перейдем к решению систем неравенств - сначала линейных систем . Посмотрим на примере, откуда берется необходимость рассматривать системы неравенств.

Найти область определения функции

Найти область определения функции

Функция существует, когда существуют оба квадратних корня, т.е.

Как решать такую систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие и первому и второму неравенству.

Изобразим на оси ox множество решений первого и второго неравенства.

Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение.

Такой метод изображения решения системы неравенств иногда называют методом крыш.

Решением системы является пересечение двух множеств.

Изобразим это графически. Имеем множество А произвольной природы и множество В произвольной природы, которые пересекаются.

Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое состоит из всех элементов, входящих и в А и в В.

Рассмотрим на конкретных примерах решения линейных систем неравенств, как находить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Решить систему неравенств:

Ответ: (7; 10].

4. Решить систему

Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства

Графически обозначим решения каждого неравенства и найдем промежуток их пересечения.

Таким образом, если мы имеем систему, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.

Ответ: система противоречива.

Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.

Рассмотрим следующую систему.

7.

Иногда линейная система задается двойным неравенством, рассмотрим такой случай.

8.

Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли, откуда они появляются, рассмотрели типовые системы, к которым сводятся все линейные системы, и решили некоторые из них.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естественных Наук ().

2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

4. Центр образования «Технология обучения» ().

5. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 53; 54; 56; 57.

В этой статье собрана начальная информация о системах неравенств. Здесь дано определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. А также перечислены основные виды систем, с которыми наиболее часто приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Навигация по странице.

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определить аналогично тому, как мы вводили определение системы уравнений , то есть, по виду записи и смыслу, вложенному в нее.

Определение.

Система неравенств – это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11 , запишем их одно под другим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
и объединим знаком системы – фигурной скобкой, в результате получим систему неравенств такого вида:

Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что в них определения даются более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными .

Основные виды систем неравенств

Понятно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не заблудиться в этом многообразии, их целесообразно рассматривать по группам, имеющим свои отличительные признаки. Все системы неравенств можно разбить на группы по следующим критериям:

• по числу неравенств в системе;
• по числу переменных, участвующих в записи;
• по виду самих неравенств.

По числу неравенств, входящих в запись, различают системы двух, трех, четырех и т.д. неравенств. В предыдущем пункте мы привели пример системы , которая является системой двух неравенств. Покажем еще пример системы четырех неравенств .

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в этом случае по сути речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если смотреть на число переменных, то имеют место системы неравенств с одной, двумя, тремя и т.д. переменными (или, как еще говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, записанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x , y и z . Обратите внимание, что ее два первых неравенства содержат не все три переменные, а лишь по одной из них. В контексте этой системы их стоит понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 соответственно. Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже - четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств , она взята из .

Что называется решением системы неравенств?

Введем еще одно определение, связанное с системами неравенств, - определение решения системы неравенств :

Определение.

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, обращающее каждое из неравенств системы в верное , другими словами, являющееся решением каждого неравенства системы.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной . Возьмем значение переменной x , равное 8 , оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два верных числовых неравенства 8>7 и 2−3·8≤0 . Напротив, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной x первое неравенство обратится в неверное числовое неравенство 1>7 .

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и большим числом переменных:

Определение.

Решением системы неравенств с двумя, тремя и т.д. переменными называется пара, тройка и т.д. значений этих переменных, которая одновременно является решением каждого неравенства системы, то есть, обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

К примеру, пара значений x=1 , y=2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными , так как 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, а могут иметь и бесконечно много решений. Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Когда система не имеет решений, то имеет место пустое множество ее решений. Когда решений конечное число, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то и множество решений состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича . Под частным решением системы неравенств понимают ее одно отдельно взятое решение. В свою очередь общее решение системы неравенств - это все ее частные решения. Однако в этих терминах есть смысл лишь тогда, когда требуется особо подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это и так понятно из контекста, поэтому намного чаще говорят просто «решение системы неравенств».

Из введенных в этой статье определений системы неравенств и ее решений следует, что решение системы неравенств представляет собой пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.

Список литературы.

1. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЕГЭ -2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012. – 192 с. – (ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе).

Например:

\(\begin{cases}5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Решение системы неравенств

Чтобы решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из \((4;\infty)\), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, то есть любой икс из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.

Пример: (Задание из ОГЭ) Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.
	Перевернем получившееся неравенство.
	Поделим все неравенство на \(2\).
	Запишем ответ для первого неравенства.
\(x∈(-∞;4)\)	Теперь решим второе неравенство.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	Неравенство уже в идеальном виде для применения .
	Запишем ответ для второго неравенства.
	Объединим оба решения с помощью числовых осей.
	Выпишем в ответ промежуток, на котором есть решение обоих неравенств - и первого, и второго.

Ответ: \((-8;4)\)

Пример: (Задание из ОГЭ) Решить систему \(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\\ 2-7x≤14-3x \end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\\ 2-7x≤14-3x \end{cases}\)	Снова будем решать неравенства по отдельности.
1)\(\frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}\) \(≥0\)	Если вас испугал знаменатель – не бойтесь, сейчас мы его уберем. Дело в том, что \(3+(5-2x)^2\)– всегда положительное выражение. Посудите сами: \((5-2x)^2 \)из-за квадрата либо положительно, либо равно нулю. \((5-2x)^2+3\) – точно положительно. Значит можно неравенство смело умножать на \(3+(5-2x)^2\)
	Перед нами обычное – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.
	Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.
	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ к первому неравенству.
\(x∈(-∞;5]\)	На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).
\(-7x+3x≤14-2\)	Приводим подобные слагаемые.
	Делим все неравенство на \(-4\), перевернув при этом знак.
	Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.
\(x∈[-3;∞)\)	А теперь объединим решения.
	Запишем ответ.

Ответ: \([-3;5]\)

Пример: Решить систему \(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования

Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C 2 y , которую необходимо максимизировать.

Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x ; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x – 5 y ≥ 42 удовлетворяют пары (x , y ) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax + by ≤ c , ax + by ≥ c . Прямая ax + by = c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax + by >c , а другой неравенству ax + +by <c .
Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x 0 , имеет ординату

Пусть для определенности a < 0, b >0, c >0. Все точки с абсциссой x 0 , лежащие выше P (например, точка М ), имеют y M >y 0 , а все точки, лежащие ниже точки P , с абсциссой x 0 , имеют y N <y 0 . Поскольку x 0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax + by > c , образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by < c .

Рисунок 1

Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a , b , c .
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Решить графически систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2 x – 2y + 5 ≤ 0.

• рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
• построим прямые, задающиеся этими уравнениями.

Рисунок 2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x + y– 1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:

Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2y – 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых


Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.

Системой неравенств принято называть любую совокупность двух или более неравенств, содержащих неизвестную величину.

Наглядно данную формулировку иллюстрируют, к примеру, такие системы неравенств :

Решить систему неравенств - означает найти все значения неизвестной переменной, при которых реализуется каждое неравенство системы, либо обосновать, что таких не бывает.

Значит, для каждого отдельного неравенства системы вычисляем неизвестную переменную. Далее из получившихся значений выбирает только те, которые верны и для первого и для второго неравенства. Следовательно, при подстановке выбранного значения оба неравенства системы становятся правильными.

Разберем решение нескольких неравенств:

Разместим одну под другой пару числовых прямых; на верхнею нанесем величину x , при которых первое неравенств о (x > 1) становиться верным, а на нижней—величину х , которые являются решением второго неравенства (х > 4).

Сопоставив данные на числовых прямых , отметим, что решением для обоих неравенств будет х > 4. Ответ, х > 4.

Пример 2.

Вычисляя первое неравенство получаем -3х < -6, или x > 2, второе -х > -8, или х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х , при которых реализуется первое неравенство системы , а на нижнюю числовую прямую, все те значения х , при которых реализуется второе неравенство системы.

Сопоставив данные, получаем, что оба неравенства будут реализовываться при всех значениях х , размещенных от 2 до 8. Множеств значений х обозначаем двойным неравенством 2 < х < 8.

Пример 3. Найдем