Потеря корней уравнения может происходить при. Урок «Равносильность уравнений Проверка корней

§ 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ)

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. В двух теоремах § 3 главы VII говорилось о том, какие действия над уравнениями не нарушают их равносильности.

2. Рассмотрим теперь такие операции над уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению. Вместо общих рассуждений ограничимся рассмотрением лишь конкретных примеров.

3. Пример 1. Дано уравнение Раскроем скобки в данном уравнении, перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение. Его корнями являются

Если сократить обе части уравнения на общий множитель то получится уравнение которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень

Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.

4. Пример 2. Дано уравнение Данное уравнение имеет единственный корень Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим Решая это уравнение, найдем два корня:

Усматриваем, что новое уравнение неравносильно исходному уравнению Корень является корнем уравнения которое после возведения в квадрат обеих частей приводит к уравнению

5. Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.

Пример 3. Если обе части уравнения умножим на то получим новое уравнение которое после переноса члена из правой части в левую и разложения на множители дает уравнение откуда либо

Корень не удовлетворяет уравнению которое имеет единственный корень

Отсюда делаем вывод: при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.

Все соображения, высказанные здесь по вопросу о потере и появлении посторонних корней уравнения, в одинаковой мере относятся к любым уравнениям (алгебраическим, тригонометрическим и др.).

6. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем (причем число таких операций конечное).

Так, например, уравнения

являются алгебраическими, а уравнения

Потеря корней и посторонние корни при решении уравнений

МОУ "СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов" города Всеволожска. Исследовательскую работу подготовил ученик 11 Б класса: Васильев Василий. Руководитель проекта: Егорова Людмила Алексеевна.

Уравнение Для начала рассмотрим различные способы решения данного уравнения sinx+cosx =- 1

Решение №1 sinx+cosx =-1 я У х 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Ответ: +2

Решение №2 sinx+cosx =- 1 я Ответ: +2 у х 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Решение №3 я у х 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Ответ:

sinx+cosx =-1 Решение №4 я у х 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Ответ: - + 2 n

Сверим решения Верные решения Разберемся, в каких случаях могут появиться посторонние корни и почему №2 Ответ: +2 №3 Ответ: №4 Ответ: + 2 n №1 Ответ: +2

Проверка решения Надо ли делать проверку? Проверять корни на всякий случай, для надежности? Это конечно полезно, когда подставить просто, но математики народ рациональный и лишних действий не делают. Рассмотрим разные случаи и вспомним, когда проверка действительно нужна.

1. Простейшие готовые формулы c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a В тех случаях, когда корни найдены по простейшим, готовым формулам, то проверку можно не делать. Тем не менее, при использовании таких формул следует помнить условия, при которых можно их применять. К примеру, формулу = можно применять при условии a 0 , -4ac 0 А грубейшей ошибкой считается ответ x= arccos2+2 для уравнения cosx =2 , так как формулой x= arccos a +2 можно пользоваться только для корней уравнения cosx =a , где | a | 1

2 . Преобразования Чаще при решении уравнений приходится проводить много преобразований. Если уравнение заменить новым, имеющим все корни предыдущего, и преобразовывать его так, чтобы не произошло потери или приобретения корней, то такие уравнения называются равносильными. 1. При переносе составляющих уравнения из одной части в другую. 2 . При прибавлении к обеим частям одного и того же числа. 3 . При умножении обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число. 4 . При применении тождеств, верных на множестве всех действительных чисел. При этом проверка не обязательна!

Однако, не всякое уравнение можно решить равносильными преобразованиями. Чаще приходится применять неравносильные преобразования. Часто такие преобразования основаны на пользовании формул, верных не при всех действительных значениях. При этом, в частности, меняется область определения уравнения. Такая ошибка находится в решении №4. Разберем ошибку, но прежде вновь посмотрим на способ решения №4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Ошибка кроется в формуле sin2x= Этой формулой пользоваться можно, только следует дополнительно проверить, являются ли корнями числа вида + при которых не определен tg . Теперь ясно, что в решении потеря корней. Доведем его до конца.

Решение №4 я у х 0 1 Проверим числа = + n подстановкой: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значит x= +2 n является корнем уравнения Ответ: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Мы рассмотрели один из способов потери корней, в математике их великое множество, поэтому нужно решать внимательно, помня все правила. Также, как можно потерять корни уравнения, можно и приобрести лишние в ходе его решение. Рассмотрим решение №3 в котором допущена такая ошибка.

Решение №3 я у х 0 1 2 2 и лишние корни! Посторонние корни могли появиться, когда обе части уравнения были возведены в квадрат. В этом случае необходимо сделать проверку. При n=2k имеем sin k+cos k=-1; cos k=-1 при k=2m-1 , Тогда n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Ответ: +2 При n=2k+1 имеем sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Итак, мы рассмотрели пару возможных случаев, коих великое множество. Старайтесь не тратить свое время зря и не совершать глупых ошибок.

ЗУБЫ. Зубы позвоночных по своему строению и развитию совершенно сходны с плакоид ными чешуями, покрывающими всю кожу акуловых рыб. Поскольку вся ротовая полость, а частью и полость глотки, выстлана эктодермальным эпителием, типичная пла коидная… …

ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ - ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ. Содержание: I. Патологическая анатомия...........110 II. Классификация легочного туберкулеза.... 124 III. Клиника.....................128 IV. Диагностика..................160 V. Прогноз..................... 190 VІ. Лечение … Большая медицинская энциклопедия

ОТРАВЛЕНИЕ - ОТРАВЛЕНИЕ. Под отравлением разумеют «расстройства функций животн. организма, вызываемые экзогенными или эндогенными, химически или физико химически действующими веществами, к рые в отношении качества, количества или концентрации чужды… … Большая медицинская энциклопедия

Клубеньковые бактерии бобовых - Данные палеонтологии свидетельствуют о том, что самыми древними бобовыми культурами, имевшими клубеньки, были некоторые растения, принадлежащие к группе Eucaesalpinioideae. У современных видов бобовых растений клубеньки обнаружены … Биологическая энциклопедия

Список серий мультсериала «Лунтик» - В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

РАСТЕНИЕ И СРЕДА - Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия

Список серий сериала «Лунтик» - Основная статья: Приключения Лунтика и его друзей Содержание 1 Количество серий 2 Список серий мультсериала Лунтик и его друзья … Википедия

Болезни плодовых деревьев - Плодовые деревья благодаря постоянным заботам о них человека должны достигать гораздо старшего возраста, чем некультурные родичи их, если бы не противодействующие влияния многих условий самой культуры, а именно требования, предъявляемые нами… …

Валка леса - В. леса, или извлечение лесного дохода в виде древесины и коры, может быть выполнена двояким образом: выкапыванием или выкорчевыванием целых деревьев, т. е. стволов вместе с корнями, или же отдельно, по частям сперва валятся, или снимаются с… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Грош - (польск. grosz, от нем. Groschen, от лат. grossus (dēnārius) «толстый денарий») монета различных стран и времён. Содержание 1 Появление гроша … Википедия

Монеты США - 20 долларов Сент Годенса самая красивая и дорогая монета США Монеты США монеты, чеканящиеся на Монетном дворе США. Выпускаются с 1792 года … Википедия

Книги

Основные причины выпадения волос у женщин , Алексей Мичман , Проблемой выпадения волос в какой-то момент жизни страдает шесть из десяти женщин. Потеря волос может происходить по ряду причин, таких как наследственность, гормональные изменения в… Категория:

Может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни . Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.

Посторонние корни уравнения, определение, примеры

В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения .

Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:

Определение

Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение и следствие этого уравнения x·(x−1)=0 , полученное в результате замены выражения тождественно равным ему выражением x·(x−1) . Исходное уравнение имеет единственный корень 1 . Уравнение, полученное в результате проведения преобразования, имеет два корня 0 и 1 . Значит 0 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Причины возможного появления посторонних корней

Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений , то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:

из-за расширения ОДЗ и
из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит

При сокращении дробей;
При замене нулем произведения с одним или несколькими нулевыми множителями;
При замене нулем дроби с нулевым числителем;
При использовании некоторых свойств степеней, корней, логарифмов;
При использовании некоторых тригонометрических формул;
При умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для этого уравнения;
При освобождении в процессе решения от знаков логарифмов.

Пример из предыдущего пункта статьи иллюстрирует появление постороннего корня из-за расширения ОДЗ, которое имеет место при переходе от уравнения к уравнению-следствию x·(x−1)=0 . ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел, за исключением нуля, ОДЗ для полученного уравнения есть множество R, то есть, ОДЗ расширяется числом нуль. Это число в итоге и оказывается посторонним корнем.

Также приведем пример появления постороннего корня из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Иррациональное уравнение имеет единственный корень 4 , а следствие этого уравнения, полученное из него путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, то есть, уравнение , имеет два корня 1 и 4 . Из этого видно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат привело к появлению постороннего корня для исходного уравнения.

Заметим, что расширение ОДЗ и возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, не всегда приводит к появлению посторонних корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению-следствию x=2 ОДЗ расширяется с множества всех неотрицательных чисел до множества всех действительных чисел, но посторонние корни не появляются. 2 – это единственный корень как первого, так и второго уравнения. Также не происходит появления посторонних корней при переходе от уравнения к уравнению-следствию . Единственным корнем и первого, и второго уравнения является x=16 . Именно поэтому мы говорим не о причинах появления посторонних корней, а о причинах возможного появления посторонних корней.

Что такое отсеивание посторонних корней?

Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» .

Таким образом,

Определение

Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.

Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.

Способы отсеивания посторонних корней

Проверка подстановкой

Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.

В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.

По ОДЗ

В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.

Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:

легко находится ОДЗ для исходного уравнения,
посторонние корни могли возникнуть только по причине расширения ОДЗ,
проверка подстановкой связана со значительными вычислительными сложностями.

Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.

По условиям ОДЗ

Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.

Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.

Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида , где n – некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0 . Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n есть неотрицательное число, n -ая степень которого равна подкоренному числу, откуда . Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n –четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0 , взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.

На прошлом уроке при решении уравнений мы использовали три этапа.

Первый этап - технический. С помощью цепочки преобразований от исходного уравнения мы приходим к достаточно простому, которое решаем и находим корни.

Второй этап — анализ решения. Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они.

Третий этап - проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию

Всегда ли нужно выделять три этапа при решении уравнения?

Конечно, нет. Как, например, в решении этого уравнения. В повседневной жизни их обычно не выделяют. Но все эти этапы нужно «держать в голове» и выполнять в той или иной форме. Обязательно проводить анализ на равносильность преобразований. И если анализ показал, что нужно выполнить проверку, то она обязательна. В противном случае уравнение не может считаться решенным верно.

Всегда ли только подстановкой можно выполнить проверку корней уравнения?

Если при решении уравнения использовались равносильные преобразования, то проверка не требуется. При проверке корней уравнения очень часто используют ОДЗ (область допустимых значений).Если по ОДЗ проверку сделать трудно, то выполняют ее подстановкой в исходное уравнение.

Задание 1

Решить уравнение квадратный корень из двух икс плюс три равен одному плюс икс.

Решение

ОДЗ уравнения определяется системой двух неравенств: два икс плюс три больше либо равно нулю и один плюс икс больше либо равно нулю. Решением является икс больше либо равно минус единице.

Возведем обе части уравнения в квадрат, перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую, приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение икс в квадрате равно двум. Корни его —

икс первое, второе равно плюс-минус квадратный корень из двух.

Проверка

Значение икс первое равно квадратный корень из двух является корнем уравнения, так как оно входит в ОДЗ.
Значение икс второе равно минус квадратный корень из двух не является корнем уравнения, т.к. оно не входит в ОДЗ.
Проверим корень икс равно квадратный корень из двух, подставив его в исходное равенство, получим

верное равенство, значит, икс равное квадратному корню из двух является корнем уравнения.

Ответ: квадратный корень из двух.

Задание 2

Решить уравнение квадратный корень из икс минус восемь равно пять минус икс.

Решение

ОДЗ иррационального уравнения определяется системой двух неравенств: икс минус восемь больше либо равно нулю и пять минус икс больше либо равно нулю. Решая ее, получаем, что эта система не имеет решений. Корнем уравнения не может быть ни одно из значений переменной икс.

Ответ: корней нет.

Задание 3

Решить уравнение квадратный корень из икс в кубе плюс четыре икс минус один минус восемь квадратных корней из икс в четвертой степени минус икс равно квадратный корень из икс в кубе минус один плюс два квадратных корня из икс.

Решение

Найти ОДЗ в этом уравнении довольно трудно.

Выполним преобразования: возведем обе части этого уравнения в квадрат,

перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые, два корня запишем под один, получим подобные радикалы, приводим подобные, делим на коэффициент минус 12, и раскладываем подкоренное выражение на множители, получим уравнение в виде произведения двух множителей, равное нулю. Решив его, найдем корни:

икс первое равно единице, икс второе равно нулю.

Так как мы обе части уравнения возводили в четную степень, то проверка корней обязательна.

Проверка

Если икс равен единице, то

получим верное равенство, значит, икс равный единице - корень уравнения.

Если икс равен нулю, то квадратный корень из минус единицы не определен.

Значит, икс равный нулю - посторонний корень.

Ответ: один.

Задание 4

Решить уравнение логарифм выражения икс квадрат плюс пять икс плюс два по основанию два равно трем.

Решение

Найдем ОДЗ уравнения. Для этого решим неравенство икс квадрат плюс пять икс плюс два больше нуля.

Решаем неравенство методом интервалов. Для этого разложим его левую часть на множители, предварительно решив квадратное уравнение, и учитывая знак неравенства, определяем ОДЗ. ОДЗ равно объединению открытых лучей от минус бесконечности до минус дроби пять плюс квадратный корень из семнадцати, деленное на два, и от минус дроби пять минус квадратный корень из семнадцати, деленное на два, до плюс бесконечности.

Теперь приступим к поиску корней уравнения. Учитывая, что три равно логарифму восьми по основанию два, запишем уравнение в следующем виде: логарифм выражения икс квадрат плюс пять икс плюс два по основанию два равно логарифму восьми по основанию два. Потенцируем уравнение, получим и решим квадратное уравнение.

Дискриминант равен сорока девяти.

Вычисляем корни:

икс первое равно минус шести; икс второе равно единице.

Проверка

Минус шесть принадлежит ОДЗ, единица принадлежит ОДЗ, значит, оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: минус шесть; один.

На прошлом уроке мы рассматривали вопрос о появлении посторонних корней. Мы их можем обнаружить с помощью проверки. А можно ли при решении уравнения потерять корни и как этого не допустить?

При выполнении таких действий над уравнением, как, во-первых, деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение аш от икс (кроме тех случаев, когда точно известно, что аш от икс не равно нулю при любом икс из области определения уравнения);

во - вторых, сужение ОДЗ уравнения в процессе решения может привести к потере корней уравнения.

Запомните!

Уравнение, записанное в виде

эф от икс умноженное на аш от икс равно жэ от икс умноженное на аш от икс решается таким образом:

нужно разложить на множители вынесением за скобки общего множителя;

затем, каждый множитель приравнять к нулю, тем самым получим два уравнения.

Вычисляем их корни.

Задание 1

Решить уравнение икс куб равно икс.

Первый способ

Разделим обе части данного уравнения на икс, получим икс квадрат равно единице, имеющее корни икс первое равно единице,

икс второе равно минус единице.

Второй способ

Икс куб равно икс. Перенесем икс в левую часть уравнения, вынесем икс за скобки, получим: икс, умноженное на икс квадрат, минус один равно нулю.

Вычислим его корни:

Икс первое равно нулю, икс второе равно единице, икс третье равно минус единице.

Уравнение имеет три корня.

При решении первым способом мы потеряли один корень — икс равно нулю.

Ответ: минус один; ноль; один.

Запомните! Сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

Задание 2

Решить уравнение десятичный логарифм икс в квадрате равен двум.

Решение

Первый способ

По определению логарифма, получим квадратное уравнение икс квадрат равно сто.

Его корни: икс первое равно десяти; икс второе равно минус десяти.

Второй способ

По свойству логарифма имеем два десятичных логарифма икс равно двум.

Его корень — икс равен десяти

При втором способе произошла потеря корня икс равен минус десяти. А причина в том, что применили неправильную формулу, сужающую область определения уравнения. Выражение десятичный логарифм икс в квадрате определено для всех икс, кроме икс равное нулю. Выражение десятичный логарифм икс — для икс больше нуля. Правильная формула десятичный логарифм икс квадрат равен двум десятичным логарифмам модуль икс.

Запомните! При решении уравнения грамотно применяйте имеющиеся формулы.